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彩虹仰角之探讨


「所谓的彩虹,不过就是光。只要心还透明,就能折射希望!」。这是某首歌的歌词,或许描述得不如教科书上精确详尽,但确实也点出了彩虹形成的几个要素──光、折射。彩虹是一个充满想像的产物,但若从科学的角度来看,即为光进入水滴经反射、折射后,以某个角度进入眼睛。若光平行地面入射,经水滴折射两次反射一次,则形成所谓的「虹」,虹的红光在仰角42度;若光经水滴折射两次反射两次,则形成颜色较淡的「霓」,霓的红光在仰角51度,如下图所示。
彩虹仰角之探讨

事实上,并非所有入射水滴的红光,反射折射后都会在仰角42度或51度。因为,当太阳光照在水滴上,面对太阳球面上的每一点都有光线入射,而不会单只有一道细细的光线。既然如此,我们透过以下的讨论与推导,以了解色光经水滴反射折射后,相对于地面仰角的分布情形!

先考虑单一道光线入射水滴。如图所示, i 为入射角, r 为折射角。
光线先经折射 → 反射 → 再折射,其偏折角度 δπ - 4r + 2i ,再根据 Snell’s Law:1 × sin i = n × sin r ,可得出偏折角 δ 与入射角 i 的函数,记为 彩虹仰角之探讨

若将偏折角 δ 对入射角 i 作图,可得一凹向上之二次曲线,在某个角度会有一极小 δ 值,如下图。
彩虹仰角之探讨

如果射入的是一大束平行光呢?在不同位置的光线强度是否会有变化?我们假设一束平行光入射水滴时,每一道入射光线的强度都是相同的,如此一来,只要知道出射角度的「附近」有多少道光线射出,就等于告诉了我们该处有多亮。
彩虹仰角之探讨

为简化问题,当入射光入射一水滴时,我们在此只考虑通过球心的大圆面上之折射与反射。假设入射光之延伸线与圆球中心的垂直距离为 b ,圆球的半径为 Rb = Rsin i
对两边微分可得 Δb = R cosi Δi
δ( i )函数图的 彩虹仰角之探讨
彩虹仰角之探讨

Δb越大,涵盖的入射光线区域愈大,表示有越多道光线入射。如果取固定小角度的偏折区间,有越多的光线入射,在此区间的亮度也会相对较大。经上面计算可以发现,要使光强度有最大值,发生在偏折角有极值时。亦即在偏折角 δ’( i ) 为零处,其光强度会比其他偏折角度大的多。对于平行地面入射的光,经水滴形成虹的红光, δ = 138度,即红光强度较强处出现在仰角42度。
至于光折射两次反射两次所形成的霓, 彩虹仰角之探讨。同理 δ’( i ) = 0 处光强度较强。平行地面入射的光,经水滴形成霓的红光, δ = 231度,即红光强度较强处出现在仰角51度。
彩虹仰角之探讨

综观上述可知,我们所熟知「虹的红光仰角42度」只不过是指在这角度下,红光最明显、会有最强的亮度。在其余非极值处因各色光皆存在、光的强度较弱,将呈现微弱的白光(混合光)。不妨仔细回想,在绿光极亮处,附近是否有微弱的白光存在呢?下次要有机会看见彩虹,别急着尖叫、拍照,多看看它两眼吧!


参考资料
1.维基百科–彩虹  http://en.wikipedia.org/wiki/Rainbow
2.郑为晋、曾思翰、王翊伦、连闵凯、吕仲唐、游钧彦、朱士维,2009年八月,物理专文「让我们看虹去──虹彩中的光学原理」,物理双月刊,31卷,4期

图片来源
邱博文物里讲义,几何光学--光之折射

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